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Algèbre : Tome 1 : groupes, corps et théorie de Galois by Daniel Guin, Thomas Hausberger

By Daniel Guin, Thomas Hausberger

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N)] : ainsi [1,3,4,5,2] désigne pour Maple la permuta12345 tion , soit se donner la permutation σ comme la liste des cycles 13452 à supports disjoints dont le produit est σ : ainsi [[1,2,3],[4,5]] désigne la permutation (1, 2, 3)(4, 5). On passe de l’un à l’autre comme suit : >convert([1,3,4,5,2],disjcyc); >convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,5); >convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,9); >map(g->convert(g,disjcyc),[[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]]); >map(g->convert(g,disjcyc),{[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]}); Noter que, dans la deuxième commande, la permutation est vue comme un élément de S5 et comme un élément de S9 dans la troisième.

Si le résultat est vrai pour les (n − 1) sous-groupes H1 , . . , Hn−1 , on applique le raisonnement ci-dessus aux sous-groupes (∩n−1 i=1 Hi ) et Hn . Attention. L’énoncé ci-dessus n’est plus vrai, en général, pour un nombre infini de sous-groupes d’indice fini (considérer les sous-groupes de Z ou, plus généralement, cf. C). 2 (formule de l’indice). Si H est un sous-groupe d’indice fini d’un groupe G et si K est un sous-groupe de G contenant H (H ⊆ K ⊆ G), alors K est d’indice fini dans G et [G : H] = [G : K][K : H].

Deux groupes de permutations de cardinal 8 ☞ Quelques commandes Maple utiles : sort, Matrix. Préliminaires : on rappelle que le type d’une permutation σ ∈ Sn est la liste [1, . . , 1, n1 , . . , nr ], où les ni , rangés par ordre croissant, sont les longueurs des cycles dans la décomposition canonique en produit de cycles disjoints, avec au préalable autant de 1 que de points fixes : la somme des éléments de la liste vaut donc n (en analyse combinatoire, on dit qu’une telle liste est une partition de n).

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