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Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer

By Robert Sauer

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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Example text

10) S B A, A. 1(5)-/(A)=~1 =~t oder 1(5) = I(A) B / +~ I = A. I(A) B r + y-12 ~ -y- 2h. A. 8) § S. Anfangs- und Randwertaufgaben bei. 10 wieder schraffierten) Abhangigkeitsbereich dargestellt. Beim GrenzprozeB h ~ 0 solI nun das Punktepaar AB der x-Achse festgehalten und die Gitterfolge G" wieder durch Halbieren, Dritteln usw. der ursprfinglichen Maschenweite gebildet werden. AuBerdem wird auf AB eine zweimal stetig differenzierbare Funktion I(x) und eine stetig differenzierbare Funktion r (x) vorgegeben.

2) Die gesuchten L6sungen I (x, y) sollen stetige zweite Ableitungen, die IntegralfHichen t = t (x, y) also stetige Tangentenebenen und Krummungseigenschaften besitzen. 1) werden jedem Punkt P (x, y, I) des in Frage stehenden Raumbereichs die Ebenen (X - x) p+ (Y - y) q - (F - I) = 0 zugeordnet. Wir setzen voraus, daB sie eine 1-parametrige Menge P(A) , q(A) bilden und daher einen Kegel umhullen (MONGEScher Kegel). 1) entartet dieser Kegel in ein Ebenenbuschel. 17 (Abb. 17). Ais MONGESche Richtungen bezeichnen wir die Richtungen der Mantellinien der MONGESchen Kegel.

Die N Unbekannten lassen sich einzeln der Reihe nach aus den N linearen Gleichungen berechnen. 4) iibertragen. Der Bestimmtheitsbereich ist das in Abb. 9 dargestellte Gitter. Der Abhangigkeitsbereich fiir einen Gitterpunkt P ist der (in Abb. 9 schraffierte) Teil der vorgegebenen Quadratreihe, welcher von den beiden durch P gehenden Geraden x ± y = const ausgeschnitten wird. Die beiden unteren Eckpunkte des schraffierten Gebietes gehoren nicht mehr zum Abhangigkeitsbereich flir den Punkt P. Ebenso wird der EinfluBbereich des schraffierten Teiles der Quadratreihe von Geraden x ± y = const begrenzt.

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